Myrkin, Artem:

Über unendliche Frobenius- und Zassenhausgruppen

(2007)
Dissertation / Fach: Mathematik
Abstract:
Die Konstruktion der endlichen Zassenhausgruppen mit regulärem Nor- malteiler läßt sich vermutlich nicht auf den lokal endlichen Fall verallgemei- nern. Mit etwas anderen Ideen können wir neue unendliche Zassenhausgrup- pe mit regulärem Normalteiler angeben (Konstruktion (3.3.5) und Beispiele 3.3.10, 3.3.11). Bis jetzt ist noch nicht geklärt, ob diese Zassenhausgruppe eine Unter- gruppe einer scharf 3-fach transitiven Gruppe ist. Es gilt allerdings, falls die von uns in (3.3.5) konstruierte Gruppe eine Untergruppe einer scharf 3-fach transitiven Gruppe ist, dass dann das zugehörige und eindeutig bestimmte KT-Feld (3.2.2, 3.2.3) die Charakteristik 2 hat (Satz 3.3.12 und Folgerung 3.3.15). Wir vermuten aber, dass keine scharf 3-fach transitive Gruppe unsere Gruppe (3.3.5) als Untergruppe enthalten kann. Es wurde gezeigt, dass die schwächste algebraische Struktur (F,+,·), die zur Konstruktion 3.3.5 passt, ein Fastkörper ist (Folgerung 3.3.7). Im endlichen Fall spielt der Frobeniuskern F die Rolle einer Transversale. F\{id} besteht bekanntlich nur aus fixpunktfreien Abbildungen und F ist ein Normalteiler. Im Folgenden verstehen wir unter einer Transversalen stets eine Transversale zu einem Frobeniuskomplement einer Frobeniusgruppe. Es zeigt sich (Satz 2.2.3), dass kommutative Transversalen stets Gruppen sind. Jede Gruppe mit fixpunktfreier Untergruppe der Auto- morphismengruppe kann als Frobeniuskern in einer Frobeniusgruppe vorkom- men. Es sei eine unendliche Frobeniusgruppe gegeben, die dem Satz von Frobe- nius genügt. Das Zentrum eines Frobeniuskomplements sei trivial. Dann be- sitzt die Automorphismengruppe des Frobeniuskernes eine Untergruppe, die zum Frobeniuskomplement isomorph ist.