Supersymmetry in random matrix theory

Duisburg, Essen (2010), 231 S.
Dissertation / Fach: Physik
Fakultät für Physik » Theoretische Physik
Guhr, Thomas (Doktorvater, Betreuerin)
Diehl, Hans Werner (GutachterIn)
Duisburg, Essen, Univ., Diss., 2010
Abstract:
Die Untersuchung des Verhältnisses zwischen der Supersymmetrie und der Zufallsmatrixtheorie steht im Mittelpunkt dieser Arbeit. Es wird die Supersymmetriemethode verallgemeinert. Weiterhin werden drei neue Berechnungsmethoden von Eigenwertkorrelationsfunktionen entwickelt. Diese Korrelationsfunktionen sind Mittelwerte von Quotienten, welche aus charakteristischen Polynomen aufgebaut sind. Im ersten Teil dieser Arbeit wird ein Zusammenhang zwischen Integralen über antikommutierenden Variablen (Grassmann–Variablen) und Differentialoperatoren hergeleitet. Die Differentialoperatoren wirken nur auf den kommutierenden Anteil der Variablen. Mittels dieses Zusammenhangs werden Cauchy–ähnliche Integraltheoreme verifiziert. Außerdem werden die Supermatrix–Bessel–Funktionen auf ein Produkt von zwei gewöhnlichen Matrix–Bessel–Funktionen zurückgeführt.
Im zweiten Teil wird die verallgemeinerte Hubbard–Stratonovich–Transformation auf beliebige rotationsinvariante Ensembles über den reell symmetrischen und hermitesch selbstdualen Matrizen angewandt. Somit wird ein Ansatz für die unitär rotationsinvarianten Matrixensembles erweitert. Es werden für die k–Punktkorrelationsfunktionen dieser Ensembles supersymmetrische Integralausdrücke in vereinheitlichter Form hergeleitet. Weiterhin wird gezeigt, dass die verallgemeinerte Hubbard–Stratonovich–Transformation mit der Superbosonisationsformel übereinstimmt. Ebenfalls wird einealternative Abbildung von Integralen über gewöhnlichen Matrizen zu Integralen über Supermatrizen angegeben. Dabei werden explizite funktionale Ausdrücke für die Wahrscheinlichkeitsdichten über den Superräumen hergeleitet, welche man durch den Vergleich der Integralausdrücke mit den anderen beiden Supersymmetriemethoden erhält.
Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte über die Zufallsmatrizen faktorisiert, dann ergeben sich für die erzeugenden Funktionen Determinantenstrukturen oder Pfaff’sche Strukturen. Für einzelne Matrixensembles ist dies mit Hilfe von verschiedenen Berechnungsmethoden schon gezeigt worden. Hier wird gezeigt, dass diese Strukturen auf rein algebraische Weise enstehen. Die neue Methode nutzt Strukturen, die man ursprünglich in Superräumen findet. Für drei Arten von Integralen werden Determinantenausdrücke und Pfaff’sche Ausdrücke hergeleitet, ohne diese in einem Superraum abzubilden. Diese drei Integraltypen sind so allgemein, dass sie auf einer sehr grossen Klasse von Matrixensembles anwendbar sind.