Supersymmetry in random matrix theory

Duisburg, Essen (2010), 231 S.
Dissertation / Fach: Physik
Fakultät für Physik » Theoretische Physik
Guhr, Thomas (Doktorvater, Betreuerin)
Diehl, Hans Werner; Wettig, Thilo (GutachterIn)
Dissertation
Abstract:
Die Untersuchung des Verhältnisses zwischen der Supersymmetrie und der
Zufallsmatrixtheorie steht im Mittelpunkt dieser Arbeit. Es wird die Supersymmetriemethode
verallgemeinert. Weiterhin werden drei neue Berechnungsmethoden
von Eigenwertkorrelationsfunktionen entwickelt. Diese Korrelationsfunktionen
sind Mittelwerte von Quotienten, welche aus charakteristischen
Polynomen aufgebaut sind.
Im ersten Teil dieser Arbeit wird ein Zusammenhang zwischen Integralen
über antikommutierenden Variablen (Grassmann–Variablen) und Differentialoperatoren
hergeleitet. Die Differentialoperatoren wirken nur auf den
kommutierenden Anteil der Variablen. Mittels dieses Zusammenhangs werden
Cauchy–ähnliche Integraltheoreme verifiziert. Außerdem werden die
Supermatrix–Bessel–Funktionen auf ein Produkt von zwei gewöhnlichen Matrix–
Bessel–Funktionen zurückgeführt.
Im zweiten Teil wird die verallgemeinerte Hubbard–Stratonovich–Transformation
auf beliebige rotationsinvariante Ensembles über den reell symmetrischen
und hermitesch selbstdualen Matrizen angewandt. Somit wird
ein Ansatz für die unitär rotationsinvarianten Matrixensembles erweitert. Es
werden für die k–Punktkorrelationsfunktionen dieser Ensembles supersymmetrische
Integralausdrücke in vereinheitlichter Form hergeleitet. Weiterhin
wird gezeigt, dass die verallgemeinerte Hubbard–Stratonovich–Transformation
mit der Superbosonisationsformel übereinstimmt. Ebenfalls wird eine
alternative Abbildung von Integralen über gewöhnlichen Matrizen zu Integralen
über Supermatrizen angegeben. Dabei werden explizite funktionale
Ausdrücke für die Wahrscheinlichkeitsdichten über den Superräumen hergeleitet,
welche man durch den Vergleich der Integralausdrücke mit den anderen
beiden Supersymmetriemethoden erhält.
Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte über die Zufallsmatrizen faktorisiert,
dann ergeben sich für die erzeugenden Funktionen Determinantenstrukturen
oder Pfaff’sche Strukturen. Für einzelne Matrixensembles ist dies mit Hilfe
von verschiedenen Berechnungsmethoden schon gezeigt worden. Hier wird
gezeigt, dass diese Strukturen auf rein algebraische Weise enstehen. Die neue
Methode nutzt Strukturen, die man ursprünglich in Superräumen findet. Für
drei Arten von Integralen werden Determinantenausdrücke und
Pfaff’sche Ausdrücke hergeleitet, ohne diese in einem Superraum abzubilden.
Diese drei Integraltypen sind so allgemein, dass sie auf einer sehr grossen
Klasse von Matrixensembles anwendbar sind.

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