Pepperl, Tiemo:

Niederfrequenzasymptotik und Wirbelstrom-Approximation der verallgemeinerten dissipativen Maxwell-Gleichungen

Duisburg, Essen (2006), 81 S.
Dissertation / Fach: Mathematik
Fakultät für Mathematik » Analysis
Dissertation
Abstract:
Wir stellen in dieser Arbeit für die Lösung der verallgemeinerten dissipativen Maxwell-Gleichungen im Ganzraum eine Niederfrequenzasymptotik auf. Die Daten stammen aus gewichteten Lebesgue-Räumen und die Dielektrizität und Permeabilität konvergieren asymptotisch im Unendlichen gegen die Identität. Die Leitfähigkeit besitzt beschränkten Träger. Für den zeitharmonischen Fall erarbeiten wir eine Fredholm-Theorie. Dies geschieht über eine Lösungstheorie für Frequenzen aus der unteren komplexen Halbebene, eine a-priori-Abschätzung der Lösungen, das polynomiale Abklingen von Eigenlösungen zu reellen Frequenzen, sowie dem Prinzip der Grenzabsorption. Wir können somit Daten behandeln, die auf Kernen endlicher Dimension senkrecht stehen. Die Elektro-Magneto-Statik im Ganzraum wird aufgrund nicht-entkoppelter Gleichungen in die Behandlung eines Innen- und eines Außenraumproblems mit Übergangsbedingungen überführt. Wir zeigen dabei, dass die Anzahl der Freiheitsgrade, die man beim Lösen des Innenraumproblems hat, genau der Anzahl der Bedingungen zum Lösen des Außenraumproblems entspricht, und diese immer eindeutig einzurichten sind. Bei der Behandlung des Außenraumproblems treten die von Pauly in seiner Dissertation 2003 aufgestellten "Turmformen" auf, die Produkte sogenannter "spherical harmonics" und Radiuspotenzen sind. Diese Turmformen können beim einmaligen statischen Lösen auftreten und dafür sorgen, dass die statischen Lösungen nicht im natürlich gewichteten Sobolev-Raum liegen. Es folgt eine Verallgemeinerung des statischen Lösungsoperators auf Datenräume mit „Turmformenanteilen“. Die Niederfrequenzasymptotik liefert, dass sich das Spektrum des dissipativen Maxwell-Operators in den reellen Zahlen nicht häufen kann, und dass für Daten aus einem speziellen Datenraum die Lösungen in gewichteten Normen gegen die Lösung des entsprechenden statischen Problems konvergieren, wenn die Frequenz gegen 0 konvergiert. Wir können Unterräume dieses speziellen Datenraums identifizieren, für die ein Potenzreihenansatz (Neumannsche Reihe) der zeitharmonischen Lösung bis zu einer gewissen Ordnung durchführbar ist. Unter der Bedingung eines nahe bei Unendlich homogenen Mediums führen wir auf unserem speziellen Datenraum Korrekturoperatoren ein, mit Hilfe derer wir die asymptotische Entwicklung bis zu einer gewissen Ordnung sogar auf unserem ursprünglichen Datenraum durchführen können. Zum Schluss entwickeln wir analog eine Niederfrequenzasymptotik für ein Wirbelstrom-Problem, welches aus den dissipativen Maxwell-Gleichungen durch Weglassen des Verschiebestroms entsteht. Wir erhalten die Lösung des Problems als echte Potenzreihe. Wir zeigen, dass die Asymptotiken der beiden Lösungen in nullter Ordnung immer übereinstimmen, in erster Ordnung nur unter gewissen Voraussetzungen an die Daten und nur für triviale Daten in zweiter Ordnung.

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