Li, Maxim:

Anwendung deformationstheoretischer Methoden zur Liftung des Frobeniusmorphismus

Duisburg, Essen (2008), 106 S.
Dissertation / Fach: Mathematik
Fakultät für Mathematik
Zentrale wissenschaftliche Einrichtungen » Institut für Experimentelle Mathematik (IEM) Essen
Frey, Gerhard (Doktorvater, Betreuerin)
Green (GutachterIn)
Duisburg, Essen, Univ., Diss., 2008
Abstract:
\emph{\textbf{Punktezählproblem:}}\\
Als Motivation für diese Arbeit dient das Punktezählproblem - das darin besteht,
die Ordnung der Gruppe der rationalen Punkte einer Varietät zu bestimmen, wobei
diese Varietät über einen endlichen Körper definiert ist. Dieses Problem hat
sowohl eine gro"se theoretische Bedeutung im Zusammenhang mit der Riemanschen Zetafunktion als auch eine wichtige praktische Bedeutung für kryptographische Anwendungen. Die beiden Seiten des Punktezählproblems beschreiben wir in den Einführungsabschnitten
1.1 und 1.2.\\
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In der letzten 6-7 Jahren entstanden zwei neue Klassen von effizienten
Punktezählalgorithmen, basierend auf den Algorithmen von Satoh [Sat] und von Kedlaya [Ked].
Die Algorithmen aus diesen Klassen kann man in zwei Schrite zerlegen: \\
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Im ersten Schritt berechnet man eine Liftung des Frobeniusmorphismus über $p$-adische Ringe und im zweiten betrachtet man induzierte lineare Operation auf gewissen Darstellungsräumen
in Charakteristik 0 und berechnet die Zetafunktion, beziehungsweise die Anzahl der rationalen Punkten daraus. \\
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\emph{\textbf{Zielsetzung:}}\\
Als Ausgangspunkt dieser Arbeit diente der Liftungsschritt im Kedlaya-Algorithmus
(in dem der Frobeniusmorphismus auf den gewissen affinen hyperelliptischen Kurven
mit einer $p$-adischen Variante des Newtonschen Iterationsverfahrens nach Charakteristik 0 geliftet wird), sowie zwei folgende triviale Bemerkungen: \\
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- Bei der praktischen Berechnung werden die Liftungen mit einer endlichen $p$-adischen Genauigkeit berechnet, so dass man eigentlich eine Liftung über den Quotientenringen
$\Z_q /p^n$ der $p$-adischen Ringen erhält.\\
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- Die Liftung des Frobeniusmorphismus auf affinen Varietäten ist nicht eindeutig und
die Wahl dieser Liftung war ausschliesslich durch die schnelle Konvergenz der
bei der Berechnung auftrettenden Potenzreihen motiviert.\\
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Diese Beobachtungen führten zu den folgenden Zielsetzungen
\begin{enumerate}
\item
Möglichst explizite Parametrisierung aller Liftungen des Frobeniusmorphismus auf affinen Varietäten über den Quotientenringen $\Z_q / p^n$.
\item
Identifizierung der Liftungen mit gewünschten Eigenschaften, z.B. optimiert für den zweiten
Schritt des Punktezählalgorithmus.
\item
Effiziente Berechnung dieser Liftungen. \\
\end{enumerate}
%
\emph{\textbf{Deformationstheoretische Methoden}}\\
Die Liftungen über den $p$-adischen Quotientenringen kann man als infinitesimale
Deformationen auffassen. Diese Tatsache legt es nahe, die deformationstheoretische
Methoden für die Parametrisierung der Liftungen anzuwenden. %Eine kurze Zusammenfassung über die verwendeten Konzepte geben wir den Abschnitten 2.1 und 2.2.\\
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In der Deformationstheorie hat man viele Beispiele für die Beschreibung des Raumes der infinitesimalen Deformationen erster Ordnung, die oft durch eine Isomorphie zu leicht berechenbaren Tangentialräumen gegeben ist. Diese Deformationen erster Ordnung entsprechen den ''kleinen'' $(/p^{n-1} \to /p^n)$ Liftungen, bei denen die $p$-adischen Genauigkeit um 1 erhöht wird.\\
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Im Abschnitt 2.3 beschreiben wir den Raum solcher ''kleinen'' Liftungen für Homomorphismen zwischen endlich erzeugten Algebren durch eine Isomorphie zu gewissen Derivationsmodulen. Diese Beschreibung ist allerdings nicht unmittelbar geeignet für die Berechnung der Liftungen.\\
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\emph{\textbf{Explizite Parametrisierung der affinen Liftungen}}\\
Im Kapitel 3 geben wir eine explizite Parametrisierung der kleinen Liftungen der
Morphismen zwischen affinen Varietäten (bzw. der induzierten Homomorphismen zwischen Koordinatenringen) durch eine 1-zu-1 Korrespondenz zu den Lösungen eines linearen Gleichungssystems über einem Koordinatenring in Charakteristik $p$. \\
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Diese Beschreibung der Liftungen erhalten wir dadurch, dass wir zunächst einen grö"seren Raum der leicht berechenbaren ''quasi-Liftungen'' parametrisieren und anschlie"send solche Parameter finden, für die bestimmte ''Hindernisse'' verschwinden und wir die gesuchten Liftungen erhalten. \\
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Die Parametrisierung der Liftungen, sowie den entwickleten Liftungsalgorithmus
wenden wir im Kapitel 4 auf die Liftungen des Frobeniusmorphismus auf affinen hyperelliptischen Kurven an. An diesem Beispiel zeigen wir wie man die Parametrisierung
für die Berechnung der Liftungen mit gewünschten Eigenschaften anwenden kann, indem
wir den Grade der Liftungen minimieren.\\
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Die dadurch berechnete Liftung ermöglicht eine viel schnellere Durchführung des
zweiten Schrittes des Punktezählalgorithmus, sowie die Verbesserung des gesamten Algorithmus um den Faktor $g+1$. Diese Anwendung, sowie die Laufzeit- und Komplexitätsfragen werden im Abschnitt 4.5 disskutiert.\\
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\emph{\textbf{Erweiterungen und Anwendungen}}\\
Eine mögliche Erweiterung der entwickelten Methoden für die Liftung der Morphismen zwischen projektiven Varietäten, illustrieren wir im Kapitel 5 am Beispiel der elliptischen Kurven und der kanonischen Liftung des Frobeniusmorphismus.\\
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Dafür betrachten wir eine affine Überdeckung der projektiven Kurve, und
deformieren die Parametrisierungsräume der kleinen Liftungen auf affinen Karten so,
dass diese affine Liftung sich auf den Durchschnitten verkleben und wir eine projektive
Liftung erhalten.\\
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Die Möglichkeit eine solche affine Liftung des Frobeniusmorphismus zu finden, die
eine lineare Operation auf Differentialmodulen induziert, untersuchen wir im Kapitel 6
am Beispiel der holomorphen Differentialen einer elliptischen Kurve. Aus der
hergeleiteten Beschreibung solcher Liftungen folgt insbesondere eine Schätzung für
die Grade der kanonischen Liftung, sowie ein expliziter Beweis der Tatsache, dass
es keine kanonische Liftungen auf supersingulären elliptischen Kurven gibt.\\
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Die weiteren Anwendungs- und Erweiterungsmöglichkeiten disskutieren wir im
letzten Abschnitt 6.3.