Pauly, Dirk:

Niederfrequenzasymptotik der Maxwell-Gleichung im inhomogenen und anisotropen Außengebiet

Essen (2003), 149 Seiten
Dissertation / Fach: Mathematik
Fakultät für Mathematik
Dissertation
Abstract:
Wir behandeln das Strahlungsproblem der Totalreflexion zum verallgemeinerten zeitharmonischen Maxwell-System in einem Außengebiet mit inhomogenen, anisotropen Koeffizienten und wollen seine Niederfrequenzasymptotik bestimmen. Im Falle eines beschränkten Gebietes sieht man leicht, daß der zeitharmonische Lösungsoperator durch die Neumannsche Reihe des zugehörigen statischen Lösungsoperators bis zu einer vorgegebenen Ordnung approximiert wird. Die Frage ist nun, in wie weit und in welchem Sinne dies auch in einem Außengebiet gilt. Zunächst entwickeln wir eine Fredholm-Theorie zu der zeitharmonischen Maxwell-Gleichung. Wir sind in der Lage, Daten aus gewichteten Sobolev-Räumen zu behandeln. Mit Hilfe einer Zerlegung des elektrischen und magnetischen Feldes gelingt es, das polynomiale Abklingen der Eigenlösungen und eine a-priori-Abschätzung durch Rückführung auf die entsprechenden Ergebnisse der skalaren Helmholtz-Gleichung zu zeigen. Die Methode der Grenzabsorption liefert dann für nichtverschwindende reelle Frequenzen die gesuchten Strahlungslösungen. Wir müssen endlichdimensionale Kerne für gewisse Eigenwerte einräumen, wobei sich diese Eigenwerte bei Null nicht häufen können. Fordern wir stärkere Differenzierbarkeitsvoraussetzungen an die Koeffizienten, so müssen etwaige Eigenlösungen sogar exponentiell fallen. Nach der Lösungstheorie des zeitharmonischen Problems wird die Niederfrequenzasymptotik in Angriff genommen. Hier wird zunächst eine exakte statische Lösungstheorie in gewichteten Räumen benötigt. Diese ist im Vergleich zur z. B. Helmholtz-Gleichung wesentlich komplizierter, da die Lösungen im statischen Fall völlig entkoppeln und außerdem zusätzliche Gleichungen hinzutreten. Desweiteren besitzt dieses statische Problem, bestehend aus jenen Gleichungen und geeigneten Rand- sowie Integrierbarkeitsbedingungen, einen nichttrivialen Kern, die Räume der harmonischen Dirichlet-Formen. Es ist auf einem Teilraum eines geeignet gewichteten Sobolev-Raumes lösbar. Die Lösung ist nach Einführung geeigneter Orthogonalitätsbedingungen eindeutig bestimmt. Wir erhalten Lösungen, welche bis auf endliche Summen spezieller verallgemeinerter ,,spherical harmonics'' in dem natürlichen gewichteten Lösungsraum liegen. Ziel ist es nun, diesen statischen Lösungsoperator zu iterieren und damit eine verallgemeinerte Neumannsche Reihe zu definieren. Dies gelingt mit Hilfe explizit angegebener iterierter Lösungen des statischen Problems im Ganzraum. Auf einem Teilraum endlicher Kodimension des statischen Datenraumes approximiert diese verallgemeinerte Neumannsche Reihe dann den Lösungsoperator des zeitharmonischen Problems bis zu einer vorgegebenen Ordnung. Die exakte Niederfrequenzasymptotik des zeitharmonischen Lösungsoperators auf dem ganzen statischen Datenraum erhalten wir dann, indem wir degenerierte Korrekturoperatoren konstruieren, die sich aus den Projektoren auf den obigen Teilraum des statischen Datenraumes und Iterierten spezieller ,,wachsender'' statischer Lösungen ergeben. Wir erhalten schließlich eine Asymptotik in geeigneten gewichteten Sobolev-Räumen, in der der zeitharmonische Lösungsoperator unter Berücksichtigung der degenerierten Korrekturoperatoren im wesentlichen durch die Neumannsche Reihe des statischen Lösungsoperators approximiert wird.