Risikoaverse Formoptimierung - Risikomaße und stochastische Ordnungen

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Thema der vorliegenden Arbeit ist risikoaverse Formoptimierung. Gewöhnliche Formoptimierung umfasst jene Art von Problemen, bei denen die zu optimierende Variable die Form eines Objekts ist. Hier ist das Objekt ein elastischer Körper auf den eine Kraft einwirkt. Basierend auf den Konzepten der Sensitivitätsanalyse bezüglich Form und Topologie wird eine Algorithmus konstruiert, der den elastischen Körper bezüglich seiner elastischen Eigenschaften und dem dabei insgesamt gebrauchten Volumen sukzessiv verbesssert. Das Resultat ist eine Struktur, die auf die wirkende Kraft so stabil wie möglich reagiert und dabei möglichst geringes Volumen hat. Diese Art von Problemen benötigen effiziente numerische Löser für die zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichungen (hier ist dies das Modell der linearen Elastizität). Dazu werden unterschiedliche Finite Elemente Methoden sowie Ansätze zur Gittergenerierung benutzt. Mit den sogenannten Levelset Methoden wird die Entwicklung der Struktur numerisch beschrieben. Unsicherheit kommt dann ins Spiel, wenn die berücksichtigten Kräfte als zufällig angenommen werden. So kann nun das elastische Verhalten des Körpers als Zufallsvariable angesehen werden, die von der Form abhängt. In einem ersten Ansatz wird die Form bezüglich verschiedener Risikomaße optimiert, die vor allem in Modellen der (Finanz-) Okonomie zum Einsatz kommen. Solche Risikomaße definieren unterschiedliche Bewertungen von Risiko, welches einer Zufallsvariable anhängt. Risikoneutrale und risikoaverse Modelle werden zur Formoptimierung benutzt. Eine neue Perspektive eröffnet sich, wenn 'stochastic dominance relations' zur Risikobewertung herangezogen werden. Diese definieren eine Halbordnung auf dem Raum der Zufallsvariablen und ermöglichen es, diese in Relation zu stellen. Ausgehend von einem Benchmark, welches eine gewisse Güte für das Verhalten unter Einwirkung der zufälligen Kräfte beschreibt, kann eine Menge von Formen identifiziert werden, deren Verhalten unter Einwirkung der Kräfte nicht schlechter als das Benchmark ist. Aus dieser Menge werden dann Formen nach einem weiteren Kriterium, z.B. möglichst geringes Volumen, ausgewählt. Auf diese Art und Weise werden Formen mit geringem Volumen gefunden, die aber dennoch die zuvor gestellten Anforderungen erfüllen.
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Dokumententyp:
Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Fakultät / Institut:
Fakultät für Mathematik
Dewey Dezimal-Klassifikation:
500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Beitragende:
Prof. Dr. Schultz, Rüdiger [Betreuer(in), Doktorvater]
Prof. Dr. Rumpf, Martin [Gutachter(in), Rezensent(in)]
Sprache:
Englisch
Kollektion / Status:
Dissertationen / Dokument veröffentlicht
Promotionsantrag am:
02.09.2013
Dokument erstellt am:
20.03.2014
Dateien geändert am:
20.03.2014
Datum der Promotion:
17.12.2013
Medientyp:
Text