Supersymmetrie in der Zufallsmatrixtheorie

Dipl. phys. Kieburg, Mario

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Die Untersuchung des Verhältnisses zwischen der Supersymmetrie und der Zufallsmatrixtheorie steht im Mittelpunkt dieser Arbeit. Es wird die Supersymmetriemethode verallgemeinert. Weiterhin werden drei neue Berechnungsmethoden von Eigenwertkorrelationsfunktionen entwickelt. Diese Korrelationsfunktionen sind Mittelwerte von Quotienten, welche aus charakteristischen Polynomen aufgebaut sind. Im ersten Teil dieser Arbeit wird ein Zusammenhang zwischen Integralen über antikommutierenden Variablen (Grassmann–Variablen) und Differentialoperatoren hergeleitet. Die Differentialoperatoren wirken nur auf den kommutierenden Anteil der Variablen. Mittels dieses Zusammenhangs werden Cauchy–ähnliche Integraltheoreme verifiziert. Außerdem werden die Supermatrix–Bessel–Funktionen auf ein Produkt von zwei gewöhnlichen Matrix– Bessel–Funktionen zurückgeführt. Im zweiten Teil wird die verallgemeinerte Hubbard–Stratonovich–Transformation auf beliebige rotationsinvariante Ensembles über den reell symmetrischen und hermitesch selbstdualen Matrizen angewandt. Somit wird ein Ansatz für die unitär rotationsinvarianten Matrixensembles erweitert. Es werden für die k–Punktkorrelationsfunktionen dieser Ensembles supersymmetrische Integralausdrücke in vereinheitlichter Form hergeleitet. Weiterhin wird gezeigt, dass die verallgemeinerte Hubbard–Stratonovich–Transformation mit der Superbosonisationsformel übereinstimmt. Ebenfalls wird eine alternative Abbildung von Integralen über gewöhnlichen Matrizen zu Integralen über Supermatrizen angegeben. Dabei werden explizite funktionale Ausdrücke für die Wahrscheinlichkeitsdichten über den Superräumen hergeleitet, welche man durch den Vergleich der Integralausdrücke mit den anderen beiden Supersymmetriemethoden erhält. Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte über die Zufallsmatrizen faktorisiert, dann ergeben sich für die erzeugenden Funktionen Determinantenstrukturen oder Pfaff’sche Strukturen. Für einzelne Matrixensembles ist dies mit Hilfe von verschiedenen Berechnungsmethoden schon gezeigt worden. Hier wird gezeigt, dass diese Strukturen auf rein algebraische Weise enstehen. Die neue Methode nutzt Strukturen, die man ursprünglich in Superräumen findet. Für drei Arten von Integralen werden Determinantenausdrücke und Pfaff’sche Ausdrücke hergeleitet, ohne diese in einem Superraum abzubilden. Diese drei Integraltypen sind so allgemein, dass sie auf einer sehr grossen Klasse von Matrixensembles anwendbar sind.
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Dokumententyp:
Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Fakultät / Institut:
Fakultät für Physik » Theoretische Physik
Physics and Astronomy Classification Scheme:
00. General
Klassifikation Physik:
Mathematische Methoden der Physik
Dewey Dezimal-Klassifikation:
500 Naturwissenschaften und Mathematik » 530 Physik
Stichwörter:
Supersymmetry, Random Matrix Theory, orthogonal polynomials, Grassmann variables
Beitragende:
Prof. Dr. Guhr, Thomas [Betreuer(in), Doktorvater]
Prof. Dr. Diehl, Hans Werner [Gutachter(in), Rezensent(in)]
Prof. Dr. Wettig, Thilo [Gutachter(in), Rezensent(in)]
Sprache:
Englisch
Kollektion / Status:
Dissertationen / Dokument veröffentlicht
Datum der Promotion:
04.05.2010
Dokument erstellt am:
17.05.2010
Promotionsantrag am:
22.01.2010
Dateien geändert am:
17.05.2010
Medientyp:
Text