Grundzüge der Maß- und Integrationstheorie I

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Die Maßtheorie hat ihre Wurzeln in der Volumen- und Flaecheninhaltberechnung. Auf diesem Gebiet erzielte bereits die hellenistische Mathematik beeindruckende Resultate. In den ersten zwei Jahrhunderten nach Begruendung der Infinitesimalrechnung wurde die Integralrechnung lediglich als Anhaengsel der Differentialrechnung angesehen, indem sie einfach als Umkehrung der Differentiation betrachtet wurde.Man erkannte jedoch die Moeglichkeit, mittels Integralen Volumina und Flaecheninhalte zu berechnen. Erst Cauchy gelang es, im Rahmen der von ihm eingeleiteten Arithmetisierung der Analysis, fuer stetige Integranden einen konkreten Integralbegriff zu schaffen. Das Cauchy-Integral wurde von Riemann leichtmodifiziert und ist bis heute als Riemann-Integral bekannt. Es ist jedoch nur endlich-additiv, was dazu fuehrt, dass noch nicht einmal allen Kompakta im n-dimensionalen Euklidischen Raum ein Volumen zugeordnet werden kann. Dieser (und auch andere) Maengel veranlassten Lebesgue, einen Integralbegriff zu kreieren, der auch o-additiv ist, d.h., abzaehlbar additiv. Der neue Integralbegriff beseitigte nicht nur die angesprochenen Unzulaenglichkeiten, sondern erwies sich auch hinsichtlich der Vertauschung der Integration und der Limitenbildung von Funktionenfolgen als wesentlich schmiegsamer als das Riemann-Integral. Außerdem erwies er sich nach Schaffung der Begriffe "Maß" und "o-Algebra" als Prototyp einer allgemeinen Integrationstheorie.
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Dokumententyp:
Wissenschaftliche Texte » Buch, Monographie
Fakultät / Institut:
Fakultät für Mathematik
Dewey Dezimal-Klassifikation:
500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik » 515 Analysis
Sprache:
Deutsch
Kollektion / Status:
E-Publikationen / Dokument veröffentlicht
Dateien geändert am:
02.07.2013
Medientyp:
Text
Bezug:
ergänzte Fassung, Wintersemester 2009/2010