Die Frequenzableitungen der Lösung der Maxwell-Gleichung in homogenen anisotropen Außengebieten

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Untersuchungsgegenstand der Arbeit ist die von Hermann Weyl vorgeschlagene Verallgemeinerung des zeitharmonischen Maxwell-Problems auf alternierende q-lineare Differentialformen in einem inhomogenen und anisotropen Außengebiet von beliebiger Dimension. Spezialfälle dieses Problems stellen die klassischen Maxwellschen Gleichungen sowie die Dirichlet- bzw. Neumannprobleme zur Helmholtzschen Schwingungsgleichung dar. Während die Lösbarkeit des Problems und die Holomorphie des Lösungsoperators für nichtreelle Frequenzen mit elementaren Hilbertraummethoden gezeigt werden kann, muss für reelle Frequenzen auf Daten aus gewichteten Sobolevräumen ausgewichen werden, für die mittels des Prinzips der Grenzabsorption die Existenz sogenannter Strahlungslösungen gezeigt wird. Unter Rückgriff auf jüngere Resultate über das polynomiale Abklingen von Eigenlösungen des Maxwell-Operators und das Häufungsverhalten der Eigenwerte weisen wir die Differenzierbarkeit des auf die reelle Achse fortgesetzten Lösungsoperators außerhalb des Nullpunkts nach und verallgemeinern damit ein bekanntes Ergebnis über die Schwingungsgleichung. Wie dort verwenden wir eine Zerlegungstechnik für den iterierten Lösungsoperator, haben aber die zusätzliche Schwierigkeit zu überwinden, dass beim Lösen des Maxwell-Problems im allgemeinen kein Regularitätsgewinn zu verzeichnen ist. Dazu dient eine spezielle Zerlegung gewichteter Sobolevräume, die es erlaubt, stets beliebig oft differenzierbare Daten vorauszusetzen, sofern der Gebietsrand und die beteiligten Koeffizienten entsprechende Regularität besitzen. Die Existenz der Ableitungen hängt außerdem von dem hinreichend schnellen Abklingen der ersten Radialableitung der Koeffizienten ab. Die Frequenzableitungen sind als Operatoren zwischen gewichteten Räumen gleichmäßig beschränkt für Frequenzen aus endlichen Intervallen auf der positiven oder negativen reellen Achse. Die Beschränktheit bei beliebig hohen Frequenzen erhält man für die Ableitungen, sofern sie für den Lösungsoperator selbst gegeben ist. Letzteres ist allerdings bisher nur für die Schwingungsgleichung unter speziellen geometrischen Anforderungen nachgewiesen. Für Daten, die selbst im Definitionsbereich des Maxwell-Operators liegen (und damit eine Randbedingung erfüllen), erreicht man eine Verbesserung der Hochfrequenzasymptotik, wobei der Lösungsoperator sich in der Norm bestenfalls durch den Kehrwert der Frequenz abschätzen läßt. Durch eine leichte Verschärfung der geometrischen Anforderungen gelingt es im zweiten Teil der Arbeit, auch für die Schwingungsgleichung mit inhomogener Dirichlet-Randbedingung eine Hochfrequenzasymptotik herzuleiten. Diese wirkt zurück auf den Fall der homogenen Randbedingung, denn eine Verbesserung der Asymptotik um eine Potenz der Frequenz kann nun auch für Daten erzielt werden, die, anstatt einer Randbedingung zu genügen, etwas höhere Regularität besitzen.
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Dokumententyp:
Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Fakultät / Institut:
Fakultät für Mathematik
Dewey Dezimal-Klassifikation:
500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik
Stichwörter:
Außenraumprobleme zur Maxwell-Gleichung, Strahlungslösung, variable Koeffizienten, Hochfrequenzasymptotik, Regularität
Beitragende:
Prof. Dr. Alber, Hans-Dieter [Betreuer(in), Doktorvater]
Prof. Dr. Weck, Norbert [Gutachter(in), Rezensent(in)]
Prof. Dr. Witsch, Karl-Josef [Gutachter(in), Rezensent(in)]
Sprache:
Deutsch
Kollektion / Status:
Dissertationen / Dokument veröffentlicht
Datum der Promotion:
12.05.2006
Dokument erstellt am:
20.11.2006
Promotionsantrag am:
27.01.2006
Dateien geändert am:
27.11.2006
Medientyp:
Text