Arithmetik nicht-hyperelliptischer Kurven des Geschlechts 3 und ihre Anwendung in der Kryptographie

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Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit nicht-hyperelliptischen Kurven vom Geschlecht 3 und möglichen Anwendungen in der Kryptographie. Der erste Teil der Dissertation hat das Ziel, nicht-hyperelliptische Kurven vom Geschlecht 3 praktikabler für die Kryptographie zu machen. Darunter verstehen wir die Konstruktion eines effizienten Algorithmus zur Berechnung der Gruppenoperation in der Jacobischen generischer nicht-hyperelliptischer Kurven vom Geschlecht 3. Für eine generische nicht-hyperelliptische Kurve mit mindestens einem rationalen Weierstrass-Punkt besitzt der von uns beschriebene Algorithmus eine Komplexität von 148M+15SQ+2I für eine Addition und 165M+20SQ+2I für eine Verdopplung, dabei stehen die Abkürzungen M, SQ, I für Multiplikationen, Quadrierungen und Inversionen. Im zweiten Teil dieser Dissertation beschäftige ich mich mit der Konstruktion kryptographisch geeigneter Jacobischer nicht-hyperelliptischer Kurven vom Geschlecht 3. Anstatt den naiven und im allgemeinen schwierigen Ansatz der Bestimmung der Anzahl der Punkte einer beliebigen Kurve zur Konstruktion kryptographisch geeigneter Kurven zu verwenden, beschränken wir uns auf eine Alternative, basierend auf Q-einfachen Faktoren Af der Jacobischen Modulkurven X0(N): In diesem Fall ist die Anzahl der Punkte von Af/p für Primideale p mit guter Reduktion mittels der Theorie von Eichler-Shimura effizient berechenbar. Falls Af zusätzlich absolut einfach und prinzipal polarisiert ist, existiert eine (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte) Kurve Cf mit Jac(Cf ) C Af . Durch das Verschwindungsverhalten gerader Thetanullwerte kann man f¨ur g = 3 leicht entscheiden, ob die entsprechende Kurve hyperelliptisch ist oder nicht. In dieser Arbeit beschreiben wir zwei verschiedene Methode, die Gleichung der gesuchten Kurve zu berechnen: die eine basiert auf der Berechnung der kanonischen Einbettung mittels einer Basis des Raumes der Spitzenformen S2(Af ), die andere auf der Berechnung des Riemann-Modells via Auswertungen von Thetafunktionen an ungeraden 2-Torsionspunkten von Af als komplexer Torus mit Periodenmatrix Ωf .
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Dokumententyp:
Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Fakultät / Institut:
Fakultät für Mathematik
Stichwörter:
diskrete Logarithmus, Kryptographie, algebraische Kurven, ebene Quartiken, Geschlecht 3, Jacobische Varietät, Modulkurven, modulare, jacobische
Sprache:
Deutsch
Kollektion / Status:
Dissertationen / Dokument veröffentlicht
Datum der Promotion:
25.01.2006
Dokument erstellt am:
09.03.2006
Dateien geändert am:
09.03.2006
Medientyp:
Text