PAUL VALÉRY
ROBERT PIRSIG
(up)
Wenn ein Kind sich darüber ärgert, daß man mit "Zuckersand" keine Burgen, sondern nur kegelförmige Berge bauen kann, bei denen aufgrund größerer oder kleinerer Lawinen stets der gleiche Böschungswinkel eingehalten wird, so ist für den Physiker gerade dieses Phänomen der sogenannten selbstorganisierten Kritikalität interessant [1]. Und wenn das Kind den Sand fasziniert durch die Finger rinnen läßt, dann zeigt sich für den Physiker darin die seltsame Eigenschaft von Sand und anderen Granulaten (Im folgenden steht "Sand" als Synonym für beliebige Granulate.), sich als Festkörper zuweilen wie eine Flüssigkeit zu verhalten. Wie man aus der Benutzung von Sand als Zeitmesser in den Sanduhren weiß, ist die Fließgeschwindigkeit jedoch anders als bei Flüssigkeiten unabhängig von der Höhe des Sandes über der Öffnung.
Die Natur demonstriert in Wüsten und sandreichen Gegenden in Form von vielfältig gestalteten Dünen und Mustern, daß diese und andere Eigenschaften des Sandes zu einem erstaunlich reichhaltigen Verhalten führen können (Abb.1 - 4).
Abb.3: Selbst zwischen den Sandrippeln bilden sich weitere Substrukturen
aus.
Abb.4: In der Gezeitenströmung bilden sich auf dem Wattboden
ähnliche Rippelstrukturen aus wie im trockenen Sand.
Von einer Antwort auf diese Frage erhofft man sich nicht nur, die Entstehung der Sandrippel oder das in mancher Hinsicht merkwürdige Verhalten von Granulaten zu verstehen. Es geht darüber hinaus ganz allgemein um eine Annäherung an die Frage, inwieweit das Verhalten amorpher und flüssiger Systeme dem Verhalten von Granulaten entspricht. Beispielsweise interessieren sich so verschiedene Bereiche der Industrie wie die Beton-, Pharma- und Lebensmittelindustrie dafür, wie man Granulate lagern, transportieren und trotz verschiedener Körnung zu mechanisch einheitlichen und homogenen Substanzen verarbeiten kann [3].
Schließlich eignen sich Sand und andere Granulate in der
einen oder anderen Hinsicht als Modellsubstanzen für Selbstorganisationsphänomene
in komplexen Vielteilchensystemen. Besonders dieser Aspekt macht
u.E. die Granulate auch für die Schulphysik interessant.
Dazu sollen im folgenden einige Anregungen gegeben werden.
(up)
Die Rippelmuster sowohl von trockenem Sand (Abb.2 und 3) als auch
von Sand auf dem Boden von Gewässern (Abb.4) können
als das Ergebnis einer im wahrsten Sinne des Wortes bewegten Vergangenheit
angesehen werden. Sie sind die "toten" Zeugen von dynamischen
Vorgängen, in denen von Wind oder Wasser bewegte Sandkörner
ein kollektives und strukturiertes Verhalten an den Tag legten.
Diese Vorgänge zeigen, daß Sandkörner offenbar
die Energie, die ihnen durch bewegte Fluide (Wind und strömendes
Wasser) auf eine im Vergleich zum resultierenden Verhalten unspezifische
Weise übertragen wird, in kreativer Weise zu nutzen vermögen
[2].
Um mehr darüber zu erfahren, setzen wir Sand einfachen vertikalen
Vibrationen aus und beobachten die verschiedenen Phänomene,
die sich in Abhängigkeit verschiedener Frequenzen und Amplituden
ergeben. Um als Schwingungserreger handelsübliche Lautsprecher
und Funktionsgeneratoren der Lehrmittelindustrie ausnutzen zu
können (Abb.5), benutzen wir als Granulat Bärlappsporen
(Lykopodiumpulver). Richtiger Sand würde aufgrund seiner
größeren Dichte leistungsstärkere Geräte
erforderlich machen. Das Granulat wird den unterschiedlichen Versuchen
entsprechend auf ebene Platten oder in Behälter gegeben,
die auf die Lautsprechermembran montiert werden.
Streut man auf die Platte des Vibrators Bärlappsporen und
läßt die Platte bei geeigneter fester Frequenz zunächst
mit kleiner Amplitude schwingen, so passiert um so weniger, je
gleichmäßiger die Teilchen die Platte bedecken. Kleine
Erhöhungen laufen auseinander und werden zugunsten einer
Gleichverteilung abgebaut. Durch die Schwingungen wird die schwerkraftsbedingte
Haftreibungskraft, die die Teilchen zusammenhält, periodisch
variiert. Infolgedessen rutschen kleinere und größere
Teilchenlawinen die Böschung hinab. Dieses Phänomen
entspricht weitgehend der Erwartung. Jedes Kind kennt - wiederum
von Sandkastenspielen -, daß ein auf einem Brett aufgetürmter
Sandhaufen auseinanderläuft, wenn man das Brett schüttelt
(Abb.6).
Erhöht man allmählich die Amplitude der Schwingung,
so beobachtet man bei einem bestimmten kritischen Wert ein völlig
neues Phänomen, man möchte sagen, genau das Gegenteil
dessen, was bisher passierte: Plötzlich zieht sich die weitgehend
gleichmäßige granulare Schicht zu einzelnen auffällig
regelmäßigen, in ihrer Größe und ihrem Ort
auf der Platte aber statistisch verteilten Häufchen zusammen
(Abb.7). Wie kommt es zu diesem Symmetriebruch, der dem Granulat
auf der Platte wie aus heiterem Himmel ein völlig neues Aussehen
verleiht und zu einem wohlstrukturierten Muster führt? Wie
ist es möglich, daß durch das Schütteln nicht,
wie man erwarten würde, Unordnung sondern Ordnung hervorgerufen
wird ? (Daß durch Schütteln nicht immer
Unordnung entsteht und durch "Mischungsvorgänge"
Entmischungen und Anordnungen hervorgerufen werden, ist an anderer
Stelle an einem einfachen System untersucht worden [3].)
Der globale Eindruck einer auffälligen Regelmäßigkeit
wird merkwürdigerweise nicht beeinträchtigt von der
ständigen Bewegung und Umstrukturierung der einzelnen Häufchen.
Das Muster bleibt im statistischen Mittel gleich (Abb.8). Kommt
dabei ein kleineres Häufchen einem größeren zu
nahe, so wird es in der Regel von dem größeren gefressen.
Große Haufen wachsen auf Kosten von kleineren. Umgekehrt
schnüren sich zuweilen von den größeren Haufen
wieder kleinere ab. Sie werden zwar häufig erneut gefressen,
in einigen Fällen gelingt es ihnen aber, die "Gefahrenzone"
zu verlassen und dabei soviel Granulat "einzusammeln",
daß ein "Überleben" immer wahrscheinlicher
wird. Wie kommt es zu diesem "Fressen und Gefressenwerden"?
Will man ein Häufchenmuster eingehender studieren, so braucht
man nur die Platte zur Ruhe zu bringen. Dann wird das aktuelle
Häufchenmuster "eingefroren". Allerdings ist es
dann völlig "ohne Leben" und hat im Grunde nur
schemenhaft die zufällige äußere Gestalt bewahrt.
Die Wanderung der einzelnen Häufchen ist nicht völlig
erratisch. Sie kommen schließlich an gewissen Stellen endgültig
zum Stehen. Diese Stellen erweisen sich als Chladnische Knotenlinien
der schwingenden Platte. An diesen Stellen ruht die Platte und
damit das dort landende Granulat. Nur die über die Knotenlinien
hinausragenden Randgebiete bleiben in Bewegung. Damit liegt aber
bereits eine Erklärung für die Drift der einzelnen Haufen
nahe: Sie bewegen sich von Stellen größerer Bewegung
zu Stellen größerer Ruhe. Auf diesem Weg nimmt die
Schwingungsamplitude ab und die Hügel laufen wieder auseinander.
Sie zerfließen zu einer flachen Pulverschicht, die schließlich
auf einer Knotenlinie zur Ruhe kommt.
Betrachtet man einen einzelnen Haufen genauer, so zeigt sich,
daß er außer der Bewegung als ganzes eine innere Dynamik
aufweist. Infolge einer ständigen Umwälzung böschen
sich die Ränder auf und verleihen dem Haufen die typische
Linsenform, die um so perfekter ausfällt, je kleiner er ist.
Diese Aufböschungen des Randes sind das Ergebnis der Tendenz,
den Radius des Haufens zugunsten des Höhenwachstums zu verkleinern
und der nivellierenden Tendenz der Schwerkraft. Wie wird diese
Bergauftendenz der vibrierenden Teilchen verursacht? (Bei
größeren Haufen ist hier ein weiteres Phänomen
zu beobachten: Der Rand beginnt zu wabern. Dies führt nicht
selten zu der bereits erwähnten Abschnürung von kleineren
Haufen. Diese Beobachtung zeigt eine gewisse Ähnlichkeit
zum Verhalten von Wassertropfen, die ebenfalls mit zunehmender
Größe an Stabilität verlieren. Allerdings wirkt
in diesem Fall keine dynamische, sondern eine statische "Kraft"
(Oberflächenspannung) der Schwerkraft entgegen.)
Die Tendenz zur Aufböschung der Ränder nimmt zunächst mit zunehmender Amplitude zu. Dann kommt es plötzlich zu einem erneuten Symmetriebruch. Die Haufen zeigen als ganzes ondulierende Bewegungen zunächst auf der Oberfläche und schließlich in ihrer ganzen Tiefe. Diese Bewegungen erinnern an Bénardsche Konvektionszellen [4] und bei näherem Hinsehen (z.B. mit einer Lupe) zeigen sie in der Tat dieselbe Dynamik (Abb.9). Noch eindrucksvoller lassen sich die Bénardzellen in einem mit einer flachen Sandschicht gefüllten schwingenden Gefäß demonstrieren (Abb.10).
Es erscheint einleuchtend, daß die Bewegung der vibrierenden Platte den unteren Schichten der Granulathäufchen stärker mitgeteilt wird als den oberen Schichten. Die stärker bewegten Teilchen brechen an bestimmten Stellen durch die oberen Schichten hindurch. Aus Kontinuitätsgründen "fallen" schwerkraftsbedingt in gleichem Maße weniger bewegte und daher energieärmere Teilchen in die entstehenden Lücken, so daß es insgesamt zu einer konvektiven Umwälzung des Granulats kommt. Dieses organisiert sich aus ähnlichen Gründen, die zur Entstehung der Bénardzellen in einer von unten geheizten Flüssigkeit führen, in einem mehr oder weniger regelmäßigen Muster.
Die Analogie zwischen geheizter Flüssigkeit und in Schwingung
versetztem Granulat geht so weit, daß man von einer "Temperatur"
des Sandes sprechen kann [5]. Die energiereichen, schnell bewegten
unteren Teilchen haben eine höhere "Temperatur"
und gelangen durch Konvektion nach oben, dabei "kühlen"
sie sich in Wechselwirkung mit anderen Teilchen ab. Gleichzeitig
sinken "kalte" Teilchen nach unten, um dort "erwärmt"
zu werden und erneut aufzusteigen.
Bei sehr großer Amplitude gehen die Konvektionen in den
einzelnen Haufen wiederum in Analogie zur Bénardkonvektion
in einer Flüssigkeit plötzlich in eine irreguläre
Bewegung über. Es kommt also zu einem erneuten Symmetriebruch,
bei dem die vorher in einer Art zellulärem Muster angeordneten
Konvektionen des Haufens in Turbulenz geraten. Dabei treten gelegentlich
regelrechte Eruptionen auf, bei denen Granulatjets aus dem Haufen
herausgeschossen werden (Abb.11).
PER BAK
Um die oben gestellten Fragen zu beantworten, muß es im
folgenden darum gehen, die Kooperation der einzelnen Teilchen
unter dem Einfluß von Vibration und Schwere genauer zu studieren.
Wir betrachten dazu die Vorgänge in einem aus wenigen, größeren
Teilchen bestehenden Granulat: Durch Verwendung von Glaskügelchen
(d: 2 - 4 mm), die sich individuell verfolgen lassen und durch
eine Beschränkung der Verhaltensmöglichkeiten auf die
denkbar einfachste nichttriviale Situation der einfachen Alternative,
sollte sich das zur Haufenbildung führende Verhalten der
Bärlappsporen nachspielen lassen.
Zur Realisation dieser Modellsituation montieren wir auf den Schwingungserreger ein relativ hohes durchsichtiges Gefäß. Die schwingungsfähige Grundplatte dieses Gefäßes ist mit Hilfe einer zwei bis drei Zentimeter hohen Wand in zwei gleiche Zellen aufgeteilt. Beide Zellen werden etwa zu einem Drittel mit kleinen Glaskügelchen gefüllt.
Versetzt man die Grundplatte nun zunächst in eine Schwingung
großer Amplitude, so springen die Teilchen gewissermaßen
maxwellverteilt im Raum herum, als wäre die kleine Wand nicht
vorhanden. Interessant wird es erst, wenn man die Amplitude der
Grundplatte langsam drosselt. Dann nimmt die mittlere Sprunghöhe
der Teilchen ab. Wird sie schließlich vergleichbar mit der
Wandhöhe, so kann man etwas Erstaunliches beobachten: Entgegen
der Erwartung, daß die Teilchen mit verschwindender Amplitude
gleichverteilt in beiden Zellen zur Ruhe kommen, sammeln sie sich
stets in nur einer der beiden Zellen (Abb.13). Sofern der Behälter
symmetrisch gefertigt und die Grundplatte horizontal ausgerichtet
ist, fällt die Wahl der Teilchen offenbar zufallsbedingt
mal auf die eine mal auf die andere Zelle. (Dieser
Modellversuch läßt sich auch auf einfache Weise mit
dem in zahlreichen Schulsammlungen vorhandenen Gerät zur
Demonstration von Gesetzen der kinetischen Gastheorie durchführen.
Dazu muß man die bewegliche Platte nur mit einer kleinen
Wand ausstatten. Wir haben gute Erfahrungen mit einem schmalen
Plexiglasstreifen (Höhe ca. 2 cm) gemacht, den wir auf der
Mitte der Platte aufgeklebt haben. Da die Versuche zur kinetischen
Gastheorie von dieser Wand nicht beeinträchtigt werden, kann
die Wand dauernd im Gerät verbleiben und dieses um die erwähnten
Anwendungsmöglichkeiten bereichern.)
Wie kommt es zu diesem unerwarteten Symmetriebruch? Was veranlaßt die Teilchen, sich in einer Zelle zusammenzutun?
Die durch die vibrierende Platte zum Springen veranlaßten Teilchen bewegen sich auf Bahnen, die durch den "schiefen Wurf" charakterisiert werden können (s.u.). Die konkreten Flugbahnen werden durch die jeweiligen Startbedingungen der einzelnen Teilchen bestimmt. Dabei kommt es entscheidend darauf an, ob der Start durch einen elastischen Stoß mit der harten Platte oder einen mehr oder weniger inelastischen Stoß mit auf der Platte befindlichen Teilchen vermittelt wird. Es leuchtet ein, daß die Bahn der gestoßenen Teilchen um so kleiner wird, je "weicher" der Untergrund ist, d.h. je mehr Teilchen die Platte bedecken.
Wenn die Amplitude der Schwingung in den kritischen Bereich kommt, in dem nicht mehr alle Teilchen die Barriere zwischen den beiden Zellen zu überschreiten vermögen, wird die Konstellation instabil: Ein zufällig entstandener winziger Teilchenüberschuß in einer der beiden Zellen löst einen sich selbst verstärkenden, lawinenartig ablaufenden Prozeß aus mit dem Ergebnis, daß alle Teilchen in einer Zelle landen. Entscheidend für das lawinenartige Wachstum ist die Tatsache, daß der Teilchenüberschuß die Wahrscheinlichkeit vergrößert, daß Teilchen in der Zelle bleiben, was wiederum den Teilchenüberschuß erhöht usw.
Während der Zufall normalerweise auf die Mikrovorgänge
der einzelnen Sprünge beschränkt bleibt, wächst
er sich in einer derartigen instabilen Situation zu einem makroskopischen
Phänomen aus. Der Zufall wird auf diese Weise in Gestalt
der einseitigen Verteilung der Teilchen konserviert. Betrachtet
man diese Endkonstellation als einfachste Form einer Strukturbildung,
so wird deutlich, daß der Symmetriebruch als entscheidendes
Element der Strukturbildung angesehen werden muß [4].
Die in dem Modellversuch erkannten Mechanismen bilden das Grundelement
für eine Erklärung der verschiedenen dynamischen Strukturbildungsvorgänge
der Bärlappsporen auf der vibrierenden Platte. Eine Verallgemeinerung
der im Modellversuch auf zwei Zellen beschränkten Verteilungsmöglichkeiten
der Teilchen auf viele Freiheitsgrade liegt auf der Hand :
Der nichtlineare Verstärkungsmechanismus, der zur Ansammlung der Teilchen in einer der beiden Zellen führte, läßt sich direkt auf die Ausbildung von Haufen übertragen. Es genügt, daß die Sporen an einer Stelle geringfügig dichter liegen, um einen Haufenbildungsprozeß auszulösen: Die Wahrscheinlichkeit, daß von außen in eine solche dichtere Ansammlung springende Teilchen darin steckenbleiben, ist größer, als daß Teilchen die Ansammlung verlassen. Auf diese Weise kommt es zu einer Aufböschung und zur Bildung von oft kreisrunden, linsenförmigen Haufen. Mit wachsender Energiezufuhr nimmt die Aufböschungstendenz der Teilchen und damit die Haufenhöhe auf Kosten des Haufenradius zu. Gleichzeitig wächst aber auch die schwerkraftsbedingte Tendenz der Haufen auseinanderzulaufen und dabei die mit der Aufböschung zunehmende potentielle Energie zu dissipieren.
Es liegt nahe, die Aufböschungstendenz durch die dadurch
pro Zeiteinheit bedingte Zunahme der potentiellen Energie
zu
erfassen. Diese erfolgt umso schneller, je höher der Haufen
bereits ist. Wir gehen der Einfachheit halber davon aus, daß
gilt: 
~ 
.
Die Tendenz der Teilchen auseinanderzulaufen, kann pauschal durch
die dabei pro Zeiteinheit dissipierte (entwertete) Energie [6]
erfaßt werden.
wächst umso stärker, je steiler die Böschung m
des Haufens ist. Wir gehen davon aus (siehe Abb.14), daß
gilt: 
~ m ~ 
.
Daraus ergibt sich, daß
"schneller"
mit der Haufenhöhe wächst als die durch die Aufböschung
bedingte potentielle Energie 
. Daher wachsen
die Haufen nicht in den Himmel: Das Wachstum wird schließlich
durch das Auseinanderlaufen begrenzt.
Ähnlich wie bei der Strukturbildung infolge der Bénardkonvektion
[4] erweist sich die in der unterschiedlichen Wachstumsgeschwindigkeit
der beiden gegeneinanderwirkenden Tendenzen (
und 
) zum Ausdruck kommenden Nichtlinearität
als entscheidendes Element der Strukturbildung. Sie regelt die
individuelle Haufengröße als stationäres Gleichgewicht
zwischen Aufbau und Abbau ein und stabilisiert sie gegen äußere
Störungen (Abb. 15).
Die Kreisform der Haufen ist ebenfalls eine Folge dieses Regelmechanismus. Jede Abweichung von der Kreisform bedeutet, daß einige Sandkörner einen größeren Abstand vom Mittelpunkt haben als die übrigen. Die Tendenz auseinanderzulaufen und dadurch den Radius weiter zu vergrößern, ist bei ihnen kleiner als bei den anderen. Daher überwiegt für sie solange die Aufböschungstendenz, bis keine Abweichung mehr vorhanden und damit die Kreisform eingeregelt ist.
Führt man sich vor Augen, daß diese Mechanismen ständig
am Werk sind, so wird klar, das die Haufen gar keine Haufen im
üblichen Verständnis sind, sondern in ständiger
Bewegung befindliche Teilchen, die ihren filigranen Tanz insgesamt
auf einem Gebiet ausführen, das die Form eines linsenförmigen
Gebildes besitzt. Kommt die Vibration und mit ihr die lebensnotwendige
Energiezufuhr zum Erliegen, so bricht die Dynamik des Haufens
zusammen, ohne daß er seine äußere Gestalt wesentlich
ändert. Er ist dann aber ein in Bewegungslosigkeit erstarrter
Haufen, der sich zu einem dynamischen Haufen wie ein unbelebter
zu einem lebenden Organismus verhält.
(up)
Wir haben die Wechselwirkungen der Granulatteilchen rein mechanisch
beschrieben: Angeregt durch die schwingende Platte kommt es zu
Stößen zwischen einzelnen Teilchen. Einige Partikel
können sogar die obere Granulatschicht verlassen und beschreiben
dann unter dem Einfluß der Schwerkraft eine Flugbahn, vergleichbar
der eines schiefen Wurfes.
Wird die Platte mit dem Granulat in Schwingung versetzt, so werden zunächst die untersten Teilchen (im Idealfall) bis zur maximalen Plattengeschwindigkeit beschleunigt:
.
(Mit a als maximaler Beschleunigung, f als Schwingungsfrequenz
der Platte und 
.)
Diese Teilchen führen nun ihrerseits Stöße mit
den darüber befindlichen Teilchen aus. Für teilelastische
Stöße zwischen zwei Teilchen (gleicher Masse) mit den
Geschwindigkeiten 
, 
vor und 
, 
nach
dem Stoß gilt allgemein:
.
Der Stoßparameter k interpoliert zwischen 
beim inelastischen und 
beim elastischen
Stoß.
Vereinfachen wir an dieser Stelle das Stoßszenario des Granulats
und beschränken uns dabei allein auf Stoßvorgänge
in vertikaler Richtung [8], so ergibt sich die Geschwindigkeit
eines
Teilchens der obersten Schicht (Schichtdicke N) nach weiteren
Stoßvorgängen dieser Art zu:
.Daraus folgt:
.Ein derart aus der Granulatschicht senkrecht nach oben herausgeschleudertes Teilchen würde (nach obiger Vereinfachung) wie beim senkrechten Wurf eine Strecke nach oben fliegen, umkehren und wieder herunterfallen. Eine strukturelle Veränderung der Granulatschicht wäre aufgrund solcher Bewegungsmuster nicht zu erwarten.
Aufgrund der Wechselwirkungen zwischen benachbarten Teilchen muß man allerdings davon ausgehen, daß die Teilchen unter einem bestimmten Abflugwinkel die Schicht verlassen und die Bewegung eines schiefen Wurfes ausführen.
Bei Kenntnis der Anfangsgeschwindigkeit 
und
des Abflugs- bzw. Wurfwinkels 
läßt
sich die Dynamik des herausgeschleuderten Teilchens mit Hilfe
der bekannten Gesetzmäßigkeiten für beschleunigte
Bewegungen beschreiben. Allgemein gilt :
.Zur Analyse der Flugbewegung eines Teilchens im Schwerefeld der Erde erfolgt zunächst (wie auch beim schiefen Wurf) eine Komponentenzerlegung der Bewegungsgleichungen (Abb.16):
In waagerechter Richtung bewegt es sich gleichförmig :
und 
.In senkrechter Richtung fällt es :
und 
.
Im Hinblick auf eine Simulation der Haufenbildung interessiert
uns lediglich der neue Aufenthaltsort des "geworfenen"
Teilchens, der i.w. aus der Flugrichtung und der Flug- bzw.
Reichweite 
ermittelt werden kann.
Untersucht man die Flugparabel eines Teilchens, so ist beim Erreichen
des Punktes p die halbe Flugzeit 
(vgl. Abb.15) verstrichen. Da an dieser Position die y-Komponente
der Geschwindigkeit des Teilchens zu Null wird 
,
gilt:
.
Die Flugweite 
berechnet sich dann zu
:
.
Kombiniert man die Überlegungen zu den Stoßvorgängen
mit denen zur Flugbewegung, so ergibt sich folgendes Modell: An
einem Ort liegen N Teilchen gleicher Masse senkrecht übereinander,
die von unten einen teilelastischer Stoß erfahren. Das letzte
Teilchen der Pulverschicht verläßt den Haufen in Form
eines schiefen Wurfes. Da die Anfangsgeschwindigkeit 
eines solchen Teilchens (bzw.
bei Betrachtung
aller N Teilchen) bekannt ist (s.o.), ergibt sich durch
Einsetzen in obige Formel (Flugweite) dann für die Reichweite
:
.Daraus folgt :
(mit: 
).
Mit anderen Worten: Je höher ein Teilchen liegt, desto (exponentiell)
weniger weit kann es fliegen. Landet also ein aus einem Haufen
herausgeschleudertes Teilchen auf einer Position größerer
Schichtdicke, so wird es bei einem erneuten Stoß nicht mehr
sehr weit kommen und in der Nähe seines Aufenthaltsortes
bleiben. Die Chance für ein Entkommen sinkt sozusagen exponentiell
mit der jeweiligen Schichtdicke. Anhand dieser Flugweiten-Formel
läßt sich der (Selbst-) Verstärkungsmechanismus,
der zu einer Aufböschung von Granulatteilchen führt,
mathematisch erfassen.
Neben der Tendenz zur Haufenbildung muß für eine Simulation der Haufendynamik natürlich auch die schwerkraftsbedingte Tendenz des Auseinanderlaufens von Haufen (s.o.) realisiert werden. Für das Heruntergleiten von Partikeln haben wir folgenden Modellansatz gewählt:
(A) Gleiten :
(mit niedrigerer Belegungshöhe
).
Die Anzahl X der bewegten Partikel beträgt dann :
Für die Aufböschung ergibt sich dann folgender Algorithmus :
(B) Springen :
und
zusammen 
, so folgt für die Sprungweite :
) hängt die Flugweite dann linear von einem Kontrollparameter
(abhängig
von Frequenz, Amplitude und Abflugwinkel) ab. So läßt
sich - wie im Realexperiment - die "Aufböschungstendenz"
z.B. durch Variation dieses Kontrollparameters direkt steuern.
Die eigentliche Simulation (Abb.16) erfolgt dann (beispielsweise)
durch Iteration der Gleit- und Sprungvorgänge :
(C) Simulation durch Iteration :
gewählt werden. Der Kontrollparameter
(in Abhängigkeit
der Anregungsamplitude und -frequenz und des Flugwinkels) sollte
zur Veranschaulichung der Dynamik der Haufenbildung auch während
des Programmablaufes variierbar sein.
WILLIAM BLAKE
Das kollektive Verhalten von Sand spricht nicht nur für sich, sondern eignet sich darüber hinaus, grundlegende Ideen der Selbstorganisation in Vielteilchensystemen zu vermitteln [4,6,7]. Außerdem wollen wir mit den Sandphänomenen die Aufmerksamkeit auf die "endlose Welt lenken, aus der der Sand genommen wurde" (Katherine Hayles).
Am Beispiel des Sandes erfahren wir, daß sich unter dem Einfluß der Schwerkraft, deren Wirkungen wir bislang nur in der Nähe des thermodynamischen Gleichgewichts kennengelernt haben, unerwartete Vorgänge ereignen, sobald sich der Sand durch Zufuhr von kinetischer Energie aus dem Gleichgewicht entfernt: "Die Gravitation wirkt sich auf dieses System nicht so aus wie auf einen schweren Körper, sie veranlaßt ihn, neue, differenzierte Verhaltensweisen, neue raum-zeitliche Strukturen zu entwickeln. Dies ist ein Beispiel dafür, daß physikalisch-chemische Systeme fern vom Gleichgewicht empfindlich werden für Faktoren, die in Gleichgewichtsnähe vernachlässigbar sind" [9].
Die Kooperation der Sandkörner führt zu Formen, deren Aussehen und Zustandekommen große Ähnlichkeit mit Formen in ganz anderen Bereichen aufweisen. Es zeigt sich, daß das materielle Substrat, in dem die Formen auftreten, aus einer übergeordneten Perspektive in ihrer Bedeutung in den Hintergrund treten. Allerdings wird auch klar, daß die Formen ohne ein Substrat undenkbar sind, sondern Modifikationen der Materie darstellen, die ebenso wenig von der Materie getrennt werden können wie die Welle vom Wasser. "Keine Welle ohne Wasser, aber keine Welle aus demselben Wasser" (PAUL VALÉRY). Die Selbstorganisationsvorgänge innerhalb des Sandes bringen nicht nur die spezifische Form des Haufens hervor und stabilisieren sie gegen äußere Störungen, die Form ist umgekehrt notwendig dafür, daß die Vorgänge ablaufen können. Form und Funktion sind in subtiler Weise aufeinander bezogen und bedingen sich gegenseitig. Darin erkennt man einen wichtigen Aspekt, der auch im Bereich des Lebens eine wichtige Rolle spielt [7].
Warum, so fragen wir uns schließlich, entdeckt man diese
Dinge erst heute? Sind nicht die Strukturen im Sand seit langem
bekannt? Hatte nicht schon MICHAEL FARADAY ähnliche Versuche
mit vibrierendem Sand durchgeführt [10]? Wesentlich für
die Bedeutung, die den Strukturen im Sand heute beigemessen werden,
ist ein verändertes Naturverständnis, das mit der Etablierung
der nichtlinearen Physik in den letzten Jahrzehnten einhergeht.
Vielleicht gilt, was WILLIAM SHAKESPEARE in seinem Mittsommernachtstraum
als Aufgabe des Dichters erkennt, mutatis mutandis auch für
den Wissenschaftler:
Bei Interesse kann die beschriebene Simulation
(in 2D und 3D) per ftp von diesem Server bezogen werden (gezippt).